Vad är en dubbelrot?

En dubbelrot innebär att det finns två lösningar som är samma som uppfyller ekvationen. Det är enklast att finns dubbelroten genom att dela upp ekvationen i binom, men det går också att använda sig utav PQ-formeln för att hitta dubbelrötter.

Vad menas med en dubbelrot?

En dubbelrot menas med att det finns en rot som gör att två av binomen blir 0 kallas lösningen för en dubbelrot.

Om vi exempelvis har polynomekvation som kan delas upp i en produkt av flera binom enligt

$(x+4)(x+1)(x+1)=0$

så kommer vi ha en dubbelrot eftersom det finns en lösning, $x=-1$, som gör att två av binomen kommer att bli 0, vilket uppfyller ekvationen.

Hur hittar vi dubbelroten för en ekvation?

Vi har en dubbelrot om vi har en lösning som uppfyller ekvationen för två av rötterna. En andragradsekvation har två rötter och kan därför ha två olika lösningar.

Om vi inte kan skriva ekvationen som flera binom så kan vi använda oss av PQ-formeln för att hitta dubbelrötter.

Om det som ligger under roten ur tecknet i PQ-formeln blir noll, så kommer vi ha en dubbelrot för vår givna ekvation.

Räkneexempel

För vilka/vilka värden på a har ekvationen $x^2 *ax + 16 = 0$ en dubbelrot?

Vi kan ta reda på a värdet genom att använda oss av PQ-formeln. Det första vi gör är att skriva ekvationen efter PQ-formeln vilket ger:

$x = \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a}{{2}}^2 -16}$

För att denna ekvationen ska ha en dubbelrot måste det som står under roten ur-tecknet, vilket också kallas diskriminanten, vara lika med 0. Detta ger ekvationen:

$0 = \frac{a}{{2}}^2 -16$

Efter att vi skrivit denna ekvationen kan vi sedan lösa ut a.

$0 = \frac{a}{{2}}^2 -16$

$0 = \frac{a^2}{{4}} -16$

$0 = a^2 -64$

$a^2 = 64$

$a = \sqrt{64} =\pm 8$

Vi har nu beräknat vilka värden för a som kan kommer att ge en dubbelrot.