Vad är PQ-formeln?

PQ-formeln är ofta den metod som man använder för att lösa olika typer av andragradsekvationer. I detta inlägget kommer du få lära dig mer om PQ-formeln och hur du kan använda den på bästa sätt.

Vad är PQ-formeln?

PQ-formeln är en metod som kan användas för att lösa andragradsekvationer. Det är en mycket användbar metod som går att härleda med hjälp av kvadratkomplettering.

För att använda PQ-formeln behöver man först skriva om sin ekvation som en den allmänna ekvation-formen. Det innebär att du måste skriva din ekvation som:

$x^2 + px + q = 0$

För att skriva om din ekvation till denna formen kan du behöva utföra division om du exempelvis har en koefficient a framför $x^2$-termen som inte är 1.

För PQ-formeln så är det koefficienterna p och q som har gett PQ-formeln sitt namn. PQ-formeln lyder som följer:

$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p}{2}^2 - q}$

Där är alltså x som är lösningen för en andragradsekvation och den som du vill lösa ut. Som du ser från plus-minus-symbolen så kan du få två lösningar från en andragradsekvation.

Hur använder man PQ-formeln?

Det är enklast att visa hur man använder PQ-formeln genom att visa på ett exempel. Nedan följer ett enkelt exempel:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

I detta exemplet kan vi konstatera att vi har p- och q-värdena:

$p=4$

$q=-5$

När vi har dessa värdena är det bara att stoppa in dem i PQ-formeln vilket ger:

$x=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\frac{4}{2}^2 - (-5)}$

$x=-2\pm\sqrt{4 + 5}$

$x=-2\pm\sqrt{9}$

$x=-2\pm\ 3$

Nu när vi räknat ut vårt x kan vi se att vi har två rötter vilket $x=1$ och $x=-5$. I detta fallet fick vi två reella lösningar. Men vi kan också få fall där vi har endast en reell lösning eller helt saknar reella lösningar. Hur man vet om en andragradsekvation kommer ha reella lösningar eller ej går vi igenom nedan.

Hur ser man om en ekvation har reella lösningar?

Det är diskriminanten i ekvationen som säger hur många reella lösningar som vi kommer ha när vi löser en andragradsekvation. Diskriminanten uttrycket som ligger under rotentecknet i PQ-formeln:

$\frac{p}{2}^2 - q$

Om uttrycket ovan (diskriminanten) är större än 0 kommer vi ha två reella lösningar. Om uttrycket är mindre än 0 kommer ekvationen sakna reella lösningar, och om uttrycket är lika med 0 kommer ekvationen endast ha en reell lösning.

$\frac{p}{2}^2 - q > 0 \implies 2 \text{ reella lösningar}$

$\frac{p}{2}^2 - q = 0 \implies 1 \text{ reell lösning}$

$\frac{p}{2}^2 - q < 0 \implies 0 \text{ reella lösningar}$

Att en andragradsekvation har 0 reella lösningar innebär däremot inte att ekvationen helt saknar lösningar. Istället kan man hitta lösningar som uttrycks med hjälp av komplexa tal.