Vad är roten ur och kvadratrötter?

Att arbeta och räkna med tal som är i kvadrat, alltså upphöjd till 2, är vanligt inom matematiken. Det kan användas vid beräkning av area, i ekvationer i fysik och kemi eller i vanliga matteuppgifter.

Ett tal som är upphöjt till 2 är det samma som att multiplicera talet med sig själv. Det kallas för att kvadrera.

För att gå åt andra hållet, från det kvadrerade talet tillbaka till det ursprungliga talet, använder man något som heter kvadratroten. Man brukar säga att man tar roten ur ett tal.

Definition av roten ur

Kvadratroten, eller roten ur ett tal $a$ definieras som det positiva talet $b$ i kvadrat (upphöjt till 2). Det kan beskrivas med symboler som $x = y^2$.

Symbolen som används när man räknar ut roten ur ett tal är $\sqrt{}$. Med den symbolen kan vi alltså beskriva samma exempel som ovan med formeln $\sqrt{x} = y$

Exempel

Om vi tar talet $25$ så vet vi att vi kan skriva det som en potens såhär: $25 = 5 ⋅ 5 = 5^2$

Det gör att det blir lättare att se att talet som man multiplicerar med sig själv för att få $25$ är $5$. Alltså är roten ur $25$ lika med $5$.

$\sqrt{25} = 5$

Kvadratrötter

Det kan bli lite klurigt att ta roten ur av väldigt stora tal och då kan man oftast behöva använda miniräknare. Däremot går det att tänka ut vad svaret är om talen är lägre och om man kan känner till dess multiplikationstabell.

Här följer några exempel på vanliga kvadratrötter som man kan lära sig utantill med lite huvudräkning:

$\sqrt{4} = 2$ då vi vet att $2 ⋅ 2 = 2^2 = 4$

$\sqrt{9} = 3$ då vi vet att $3 ⋅ 3 = 3^2 = 9$

$\sqrt{16} = 4$ då vi vet att $4 ⋅ 4 = 4^2 = 16$

$\sqrt{25} = 5$ då vi vet att $5 ⋅ 5 = 5^2 = 25$

$\sqrt{36} = 6$ då vi vet att $6 ⋅ 6 = 6^2 = 36$

$\sqrt{49} = 7$ då vi vet att $7 ⋅ 7 = 7^2 = 49$

$\sqrt{64} = 8$ då vi vet att $8 ⋅ 8 = 8^2 = 64$

$\sqrt{81} = 9$ då vi vet att $9 ⋅ 9 = 9^2 = 81$

$\sqrt{100} = 10$ då vi vet att $10 ⋅ 10 = 10^2 = 100$

Roten ur 1

Talet 1 är lite speciellt när det kommer till roten ur. Eftersom vi söker ett tal som ska bli 1 om man multiplicerar det med sig själv, märker vi att det talet även är 1. Alltså får vi:

$1 ⋅ 1 = 1^2 = 1$

Därför är svaret även 1 när vi tar roten ur 1:

$\sqrt{1} = 1$

Skriva roten ur som en potens

Vid beräkning med potenser kan det vara viktigt att känna till att kvadratroten ur ett tal kan omvandlas till en potens. Att ta roten ur ett tal är nämligen samma sak som att höja upp talet till en halv (1/2).

Alltså kan vi skriva $\sqrt{x}$ på följande sätt enligt potensregeln:

$\sqrt{x} = x^\frac{1}{2}$

eller $\sqrt{5} = 5^\frac{1}{2}$

Negativt svar

När man tar roten ur ett tal så brukar man säga att man får den positiva lösningen, alltså ett tal som inte är negativt. När det kommer till andragradsekvationer kan det däremot vara viktigt att minnas att svaret av roten ur både är ett positiv och en negativ version av samma tal. Dessutom kan lösningen på en andragradsekvation vara negativ.