Vad är en vektor?

En vektor definieras som en matematisk storhet som har både en riktning och en storlek. Storleken på vektorn kan även kallas magnitud.

De används inom fysik och matematik för att beskriva värden som exempelvis kraft, hastighet, acceleration och elektriskt fält. Dessa vektorer har alltså även en riktning i rummet de befinner sig i, alltså kallas de även geometriska vektorer eller rumsvektorer.

En kraft beskrivs ofta som en vektor eftersom kraften har en viss riktning utöver hur stark kraften är. Om du exempelvis trampar på en läskburk så utsätter du burken för en viss kraft (Newton) och även i en riktning nedåt mot marken.

Hur skriver man en vektor?

För att beskriva att en storhet är en vektor så finns det lite olika sätt att skriva den på.

Man kan till exempel rita en pil ovanför en bokstav, så här: $\vec{u}$ eller $\vec{v}$.

Samma vektorer kan även skrivas som en fet bokstav istället, på detta viset: $\bold{u}$ eller $\bold{v}$

Slutligen kan man även beskriva vektorn som dess start- och slutpunkt, om man vill förtydliga mellan vilka punkter vektor befinner sig.

En vektor som börjar i punkt A och slutar i punkt B skrivs isåfall så här: $\vec{v} = \vec{AB}$

Man brukar rikta vektorer som en pil, där längden av pilen visar storleken på vektorn.

Vad är en skalär?

Till skillnad mot en vektor så är en skalär endast ett värde, eller en storlek.

En skalär kan användas tillsammans med en vektor för att beskriva storleken - eller längden - hos vektorn. Tillexempel har vektorn $3 ⋅ \vec{v}$ skalären $3$.

En skalär kan alltså därför även användas för att ändra längden hos en vektor. Det gör man genom skalärmultiplikation.

Om en vektor $\vec{u}$ multipliceras med en skalär $x$ så får vi en ny vektor som är $x$ gånger längre än $\vec{u}$.

Ifall vi multiplicerar vektorn $\vec{u}$ med en negativt skalär som $-2$, då blir $\vec{u}$ dubbelt så lång fast byter riktning. Riktningen blir alltså negativ eftersom skalären var negativ.

Exempel:

Rita de nya vektorerna efter att ha multiplicerat vektorn $\vec{v}$ med skalärerna $2$ och $-3$.

Förflyttning av vektorer

Vektorer som ligger i ett koordinatsystem kan parallelförflyttas varsomhelst och fortfarande vara samma vektor, om riktningen och storleken förblir den samma. Alltså spelar inte placeringen någon roll.

Det gör att det blir lättare att räkna med vektorer, eftersom de kan omplaceras efter och före varandra överallt i koordinatsystemet.

Vektor med startpunkt i origo

En vektor som har sin startpunkt i origo brukar endast beskrivas med sin slutpunkt, eftersom man vet att startpunkten är (0,0).

En vektor $\vec{v}$ med startpunkten i origo och slutpunkten i $(2,3)$ skrivs så här: $\vec{v} = (2,3)$

Addition och subtraktion av vektorer

Vektorer kan även adderas och subtraheras med varandra som vanliga tal. Då använder man vektoraddition och vektorsubtraktion.

Innan vi kan göra det är det bra att känna till två begrepp - parallella vektorer och motsatta vektorer.

1. Parallella vektorer är två vektorer har precis samma eller helt motsatt riktning.
2. Motsatta vektorer har precis samma storlek fast motsatt riktning mot varandra.

Två vektorer som är parallella och har samma riktning adderas tillsammans till en större vektor. Är de parallella med motsatt riktning subtraherar man dem med varandra.

Alltså gäller: